• dft(A), idft(Z) : renvoie la transformée de Fourier ascendante/inverse de vecteurs ou matrices à valeurs complexes.
Si l'entrée de dft est un vecteur V de longueur r, alors :
◦ La sortie de dft(V) est un vecteur Z de longueur r.
◦ La sortie de idft(Z) est un vecteur de longueur r.
Si l'entrée de dft est une matrice M de r lignes et c colonnes, alors :
◦ La sortie de dft(M) est une matrice P de r lignes et c colonnes.
◦ La sortie de idft(P) est une matrice de r lignes et c colonnes.
• dftr(B), idftr(Z) : renvoie la transformée de Fourier ascendante/inverse de vecteurs ou matrices à valeurs réelles.
Si l'entrée de dftr est un vecteur V de longueur r, alors :
◦ La sortie de dftr(V) est un vecteur Z de longueur L, où L=floor(r/2)+1. Les éléments de Z sont identiques aux premiers éléments L de la sortie de dft(V).
◦ La sortie de idftr(Z) est un vecteur de longueur r=2(L-1).
Si l'entrée de dftr est une matrice M de r lignes et c colonnes, alors :
◦ La sortie de dftr(M) est une matrice P de r lignes et L colonnes, où L=floor(c/2)+1. Les éléments de P sont identiques aux premières colonnes L de la sortie de dft(M).
◦ La sortie de idftr(P) est une matrice de r lignes et c=2(L-1) colonnes.
Arguments
• A est un vecteur ou une matrice à valeurs complexes de n'importe quelle taille.
• B est un vecteur ou une matrice à valeurs réelles. Les parties imaginaires sont ignorées. Si B est un vecteur, alors le nombre de lignes doit être un multiple de 2. Si B est une matrice, alors le nombre de colonnes doit être un multiple de 2.
• Pour A comme pour B, les unités des données doivent être compatibles.
Transformée de Fourier de vecteurs
• Si A est un vecteur de taille m, alors le ue élément de la transformée ascendante à une dimension (1D) du vecteur A est obtenu par Zu de la manière suivante :
Où :
◦ m est le nombre de lignes et u est défini comme :
◦ i est l'unité imaginaire et wm est défini comme :
L'évaluation de Z dans la définition ci-dessus équivaut à appliquer la fonction dft au vecteur A.
• Si Z est un vecteur de taille m, alors le ue élément de la transformée inverse à une dimension (1D) du vecteur Z est obtenu par Au de la manière suivante :
Où :
◦ m, u et wm sont définis ci-dessus.
L'évaluation de A dans la définition ci-dessus équivaut à appliquer la fonction idft au vecteur Z.
Transformée de Fourier de matrices
• Si A est une matrice de taille mxn, alors le (u,v)e élément de la transformée ascendante à deux dimensions (2D) de la matrice A est obtenu par Zu,v de la manière suivante :
Où :
◦ m, u et wm sont définis ci-dessus.
◦ n est le nombre de colonnes et v est défini comme :
◦ i est l'unité imaginaire et wn est défini comme :
L'évaluation de Z dans la définition ci-dessus équivaut à appliquer la fonction dft à la matrice A.
• Si Z est une matrice de taille mxn, alors le (u,v)e élément de la transformée inverse à deux dimensions (2D) de la matrice A est obtenu par Au,v de la manière suivante :
Où :
◦ m, n, u, v, wm et wn sont définis ci-dessus.
L'évaluation de A dans la définition ci-dessus équivaut à appliquer la fonction idft à la matrice Z.
Informations supplémentaires
• Les fonctions Fourier s'exécutent plus rapidement lorsque le nombre de lignes de vecteurs et de colonnes de matrices est une puissance de deux.
• Les nouvelles fonctions dft/idft remplacent les fonctions obsolètes cfft/icfft et CFFT/ICFFT. Elles offrent de meilleures performances, notamment lorsque les jeux de données sont volumineux et lorsque la taille n'est pas une puissance de deux.
• Les nouvelles fonctions dftr/idftr remplacent les fonctions obsolètes fft/ifft et FFT/IFFT.
La fonction dftr traite les vecteurs réels dont la longueur est un nombre pair et les matrices avec un nombre pair de colonnes.
• Les fonctions fft/FFT traitent uniquement les vecteurs réels dont la longueur est une puissance de deux.
• Les fonctions ifft/IFFT ont seulement la moitié de la longueur du vecteur d'entrée plus un, ou 2k-1+1, où k est un entier > 1. L'autre moitié, qui représente la partie conjuguée de la première partie dans l'ordre inverse, doit être reconstruite manuellement. Les fonctions dft/idft renvoient le résultat total.
• Les fonctions dft/idft diffèrent de fft/ifft, FFT/IFFT et cfft/icfft, CFFT/ICFFT à la fois au niveau du facteur d'échelle que du signe de l'exposant.
◦ Pour les transformées ascendantes, les différences sont les suivantes :
dft/dftr
fft/cfft
FFT/CFFT
Facteur d'échelle
1
1/√m√n
1/m.n
Signe de l'exposant
Négatif
Positif
Négatif
◦ Pour les transformées inverses, les différences sont les suivantes :
idft/idftr
ifft/icfft
IFFT/ICFFT
Facteur d'échelle
1/m.n
1/√m√n
1
Signe de l'exposant
Positif
Négatif
Positif
Lors du calcul du facteur d'échelle pour les fonctions portant sur des vecteurs seulement (cas 1D), partez du principe que n=1.
